Conjectura de Poincaré

Extracto de um artigo do Público de 20 de Agosto de 2006

A conjectura de Poincaré é fundamental na topologia, também chamada “geometria sem pormenores”, o ramo da Matemática que lida com as formas. Assim, em topologia dois objectos são considerados idênticos se puderem ser transformados um no outro sem dobrar ou rasgar, como se fossem feitos com uma massa elástica. Desta forma uma superfície esférica é, para um topólogo, equivalente à superfície de um copo, mas diferente de uma chávena com uma pega. Da mesma forma um toro (“donut”) é equivalente a uma chávena com uma pega, mas diferente de uma chávena com duas pegas. E assim sucessivamente, de forma que qualquer superfície finita com duas dimensões é equivalente a uma superfície esférica com um número finito (que pode ser zero, um, dois…) de pegas (ou “buracos”). Este resultado já era conhecido desde o século XIX.
A classificação de superfícies de dimensão superior (que não podem ser visualizadas em três dimensões) revelou-se bastante mais complicada. Poincaré conjecturou que todas as superfícies finitas de dimensão maior que dois sem nenhum tipo de “buracos” são topologicamente equivalentes a esferas da mesma dimensão, mas não foi capaz de provar. A conjectura de Poincaré já tinha sido provada para esferas de dimensões superiores a 4 por Stephen Smale (Medalha Fields em 1966) e para quatro dimensões por Michael Freedman (Medalha Fields em 1986). Restava somente o caso tridimensional, para o qual o matemático William Thurston, no final dos anos 70, propôs uma generalização. Tal como todas as superfícies fechadas bidimensionais podem ser construídas combinando somente duas formas, a esfera e o toro (a “pega”), também algo semelhante se passaria com as superfícies tridimensionais, que poderiam ser todas construídas a partir não de duas, mas de oito formas fundamentais. Só por ter proposto esta conjectura de geometrização, que automaticamente inclui a conjectura de Poincaré em três dimensões, Thurston, neste momento na Universidade de Cornell, foi igualmente agraciado com a Medalha Fields em 1986.
Richard Hamilton, da Universidade de Columbia, propôs no início dos anos 80 a aplicação ao estudo das formas de superfícies de uma técnica, chamada fluxo de Ricci, baseada nas equações de geometria diferencial como as que se utilizam na Teoria da Relatividade Geral. Este processo transforma uma superfície numa forma mais homogénea, redistribuindo a sua curvatura. Hamilton teve sucesso a aplicar este processo a objectos simples, mas os problemas surgiriam em objectos mais complicados que incluíssem pontos, chamados singularidades, cuja curvatura fosse infinita. Os topólogos poderiam removê-las, mas não havia garantias de que com este processo não se formassem singularidades novas. Seria Perelman a resolver este problema em 2002, ao demonstrar uma série de desigualdades que evidenciam que as singularidades acabam por se transformar todas em esferas ou tubos, num tempo finito após o fluxo de Ricci ter começado. Os topólogos poderiam assim removê-las e levar o fluxo de Ricci até ao fim, revelando a essência topológica dos espaços em questão e demonstrando as conjecturas de Poincaré e Thurston.
O grande entusiasmo causado pela prova de Perelman deve-se nem tanto ao resultado em si, que pelo menos no caso da conjectura de Poincaré era bastante intuitivo e que toda a gente dava como verdadeiro, mas mais ao método usado, tendo-se revelado ligações profundas até então desconhecidas entre diferentes ramos da Matemática.